قاعده زنجیره ای برای مشتقات جزي ی (حالت اول) :

۱ گرادیان تابع (y :f(x, اگر f یک تابع دومتغیره باشد ا نگاه گرادیان f برداری است که به صورت زیر تعریف می شود f(x, y) = D ۱ f(x, y), D ۲ f(x, y) اگر رویه S نمایش تابع (y Z = f(x, باشد ا نگاه f در هر نقطه روی این سطح برداری است عمود بر سطح به سمت خارج. قاعده زنجیره ای برای مشتقات جزي ی (حالت اول) : اگر y) Z = f(x, یک تابع مشتق پذیر و g(t) x = و h(t) y = به طوری که g و h توابع مشتق پذیر باشند در این صورت Z نسبت به t مشتق پذیر است و داریم dz dt = f t + f t مثال.۱ اگر zو = x ۲ y + ۳xy ۴ x = cos t و y = sin ۲t ا نگاه dt = (۲xy + ۳y۴ )( sin t) + (x ۲ + ۱۲xy ۳ )۲ cos t = (۲ cos t sin ۲t + ۳ sin ۴ ۲t)( sint) + (cos ۲ t + ۱۲ cos t sin ۳ ۲t)۲ cos t قاعده زنجیره ای (حالت دوم): اگر (y zمشتق پذیر = f(x, و (t x = g(s, و (t y = h(s, که g و h توابع مشتق پذیرند در این صورت ds = s + s dt = t + t مثال.۲ اگر ) ۲ z = f(s ۲ t ۲, t ۲ s و f یک تابع مشتق پذیر نشان دهید t f s + s f t = ۰

۲ حل: فرض کنید x = s ۲ t ۲ و. y = t ۲ s ۲ داریم: df ds = f s + f df dt = f t + f s = f t = f f (۲s) + ( ۲s) (۱) f ( ۲t) + (۲t) (۲) ۱, ۲ = t f s + s f t = (۲st f ۲st f ) + ( ۲st f + ۲st f ) = ۰ مشتق ضمنی : صورت z نسبت به xو y مشتق پذیر است و داریم : فرض کنید = ۰ (z F,x),y یک تابع مشتق پذیر باشد در این dx = F, F = F مثال.۳ فرض کنید ۱ = ۴xyz.x ۳ + y ۳ + z ۳ + مطلوبست محاسبه, حل : فرض کنید + ۱ ۴xyz F (x, y, z) = x ۳ + y ۳ + z ۳ + داریم F dx = F F = ۳x۲ + ۶yz ۳z ۲ + ۶xy, = F F = ۳y۲ + ۶xz ۳z ۲ + ۶xy معادله صفحه مماس بر رویه یک رویه: اگر رویه S توسط معادله (y z = f(x, بیان شود و f دارای مشتقات جزي ی پیوسته باشد در این صورت معادله صفحه مماس بر رویه در نقطه ) ۰ x) ۰, y واقع بر ا ن به صورت زیر است.(. z ۰ = f(x ۰, y ۰ z z ۰ = D ۱ f(x ۰, y ۰ )(x x ۰ ) + D ۲ f(x ۰, y ۰ )(y y ۰ ) = ۰ اگر رویه توسط F,x),y (z = c بیان شود ا نگاه معادله صفحه مماس رویه در نقطه ) ۰ (x ۰, y ۰, z واقع بر ا ن به صورت زیر است. D ۱ F (x ۰, y ۰, z ۰ )(x x ۰ )+D ۲ F (x ۰, y ۰, z ۰ )(y y ۰ )+D ۳ F (x ۰, y ۰, z ۰ )(z z ۰ ) = ۰

۳ x۲ + y۲ در نقطه + z۲ a ۲ b ۲ c ۲ مثال ۴. نشان دهید معادله صفحه مماس بر بیضی گون = ۱ ) ۰ (x ۰, y ۰, z واقع بر ا ن به صورت F (x, y, z) = x۲ a ۲ + y۲ b ۲ + z۲ c ۲, D ۱F = ۲x a ۲ D ۲ F = ۲y b ۲ D ۳ F = ۲z c ۲ ۲x ۰ a ۲ (x x ۰) + ۲y ۰ b ۲ (y y ۰) + ۲z ۰ c ۲ (z z ۰) = ۰ = ۲x ۰x a ۲ + ۲y ۰y b ۲ = x ۰x a ۲ چون نقطه روی رویه است + ۲z ۰z c ۲ = ۲x۲ ۰ a ۲ + ۲y۲ ۰ b ۲ + ۲z۲ ۰ c ۲ = ۲ + y ۰y b ۲ + z ۰z c ۲ = ۱ ماکزیمم و مینیمم توابع چندمتغیره : تعریف ۱. تابع (y f(x, در (b,a) دارای ماکریمم نسبی (یا مینیمم نسبی) است اگر برای هر y) (x, در یک همسایگی b) (a, داشته باشیم b) f(x, y) ) f(x, y) f(a, (b, f(aیا ). مقدار (b f(a, ماکزیمم نسبی (مینیمم نسبی )f نامیده می شود. دو سوال مطرح می شود. ۱. ماکزیمم و مینیمم نسبی در چه نقاطی اتفاق می افتند ۲. چگونه تشخیص دهیم که f در (b,a) دارای ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی یا هیچکدام می باشد جواب سوال ۱ توسط قضیه زیر داده می شود. قضیه ۲. اگر (y f(x, در (b,a) ماکزیمم یا مینیمم نسبی داشته باشد و مشتقات جزي ی.D ۱ f(a, b) = ۰, D ۲ f(a, b) موجود باشند ا نگاه = ۰ (a, b) در f

تعریف ۳. نقطه (b,a) یک نقطه بحرانی تابع f نامیده می شود اگر مشتقات جزي ی f در a موجود نباشند یا درصورت وجود = ۰ b) D ۱ f(a, و = ۰ b).d ۲ f(a, برای بدست ا وردن ماکزیمم و مینیمم نسبی باید نقاط بحرانی تابع f را بدست ا وریم. جواب سوال ۲ در قضیه زیر داده می شود. ۴ قضیه ۴. ) ا زمون مشتق دوم ( فزض کنیم مشتقات جزي ی مرتبه f ۲ در یک همسایگی b) (a, پیوسته باشند و همچنین = ۰ b) D ۱ f(a, و = ۰ b) D ۲ f(a, قرار می دهیم داریم : ۲ A = f xx (a, b), B = f yy (a, b), C = f x,y (a, b), D = AB C ۱. اگر ۰ > Dو > ۰ A ا نگاه f در (b,a) دارای مینیمم نسبی است. ۲. اگر ۰ > Dو < ۰ A ا نگاه f در (b,a) دارای ماکزیمم نسبی است. ۳. اگر ۰ < D ا نگاه f در (b,a) نه مینیمم و نه ماکزیمم دارد. ۴. اگر ۰۰ = D با این ا زمون نمی توان نظر داد. اگر < ۰ D ا نگاه (b,a) را نقطه زینی f نامیده می شود. توجه: قضیه فوق در صورتی به کار می رود که بحرانی بودن تابع f در (b,a) به خاطر عدم وجود مشتقات جزي ی نباشد.در این صورت باید از تعریف استفاده کنیم. مثال.۵ نقاط بحرانی تابع + ۱ ۴xy f(x, y) = x ۴ + y ۴ را مشخص کنید و معین کنید هرکدام چه نوع نقطه ای می باشد حل: چون مشتقات جزي ی f موجودند پس برای بدست ا وردن نقاط بحرانی ریشه های مشتقات جزي ی را بدست می ا وریم. { D۱ = ۴x ۳ ۴y = ۰ D ۲ = ۴y ۳ ۴x { x ۳ y = ۰ y = x ۳ y ۳ x = ۰ x ۹ x = ۰ x(x ۸ ۱) = ۰ x = ۰, x = ۱, x = ۱

۵ x = ۰ y = ۰ p ۱ (۰, ۰), x = ۱ y = ۱ p ۲ (۱, ۱) x = ۱ y = ۱ p ۳ ( ۱, ۱). A = f xx = ۱۲x ۲, B = ۱۲y ۲, D = ۴ نقاط A B D = AB C ۲ نتیجه ۰) (۰, ۱ p ۰ ۰ ۴ نقطه زینی ۱) (۱, ۲ p ۱۲ ۱۲ ۴ ۱۴۴ مینیمم نسبی ۱) ( ۱, ۳ p ۱۲ ۱۲ ۴ مینیمم نسبی ماکزیمم و مینیمم مطلق توابع چند متغیره : اگر D R n یک ناحیه بسته و کراندار باشد و f روی D پیوسته باشد در این صورت f روی D ماکزیمم و مینیمم مطلق خود را اختیار می کند یعنی وجود دارد نقاط.x D برای هر f(x ۱ ) f(x) f(x ۲ ) که x ۱, x ۲ D حال سوال این است چگونه ماکزیمم و مینیمم مطلق f را روی D بدست ا وریم به صورت زیر عمل می کنیم: ۱. نقاط بخرانی f را که درون ناحیه D می باشند بدست می ا وریم. ۲. نقاط بخرانی f روی مرز D را نیز بدست می ا وریم. ۳. مقدار f در نقاط بدست ا مده در قسمت ۱ و ۲ را محاسبه می کنیم و بیشترین مقدار ا ن ماکزیمم f و کمترین مقدار ا ن مینیمم f روی D است. برای بدست ا وردن نقاط بحرانی روی مرز : D معمولا مرز D توسط تابع g(x) = c بیان می شود و لذا باید نقاط بحرانی f را تحت شرط g = c بدست ا وریم. مثال ۶. نشان دهید مستطیلی با محیط معلوم مربع دارای بیشترین مساحت است حل : باید ماکزیمم تابع f(x, y) = xy تحت شرط p )۲x+۲y = p عددی ثابت) { f = xy x + y = p ۲ y = p ۲ x بدست ا وریم.

۶ f(x, y) = h(x) = x( p ۲ x) = p ۲ x x۲ h (x) = p ۲ ۲x = ۰ = x = p ۴ y = p ۴ p ۲ پس xy وقتی ماکزیمم دارد که. x = y = p در این صورت ماکزیمم مساحت ۱۶ ۴ است. همانطور که در این مثال می بینیم باید یکی از متغیرها را براساس قضیه از شرط g = c محاسبه کنیم یا به تعبیر ساده تر g را در f قرار می دهیم. مثال.۷ ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع f(x, y) = x ۳ + xy ۲ را روی ناحیه = D ۱} ۲ {(x, y) : x ۲ + y محاسبه می کنیم. f = (۰, ۰) { ۳x ۲ + y ۲ = ۰ ۲xy = ۰ x = ۰ or y = ۰ حل : { f = x ۳ + y ۲ x x ۲ + y ۲ = ۱ پس( ۰,۰) نقطه بحرانی f درون D است. f = x ۳ + y ۲ x = x(x ۲ + y ۲ ) = x = h(x) لذا f روی مرز D به صورت تابع یک متغیره h(x) است که ۱ x ۱ است. و لذا بیشترین مقدار f روی مرز D ۱ و کمترین مقدار ا ن ۱ است. مقدار f در نقطه بحرانی (۰,۰) برابر صفر است. پس ماکزیمم f برابر ۱ است و مینیمم ا ن ۱ است. همواره جایگذاری g در f ساده نمی باشد. می کنیم. لذا روش ضرایب لاگرانژ را مطرح قضیه.۵ (ضرایب لاگرانژ) اگر تابع f در نقطه ) ۰ (x ۰, y تحت شرط g = c دارای ماکزیمم و مینیمم نسبی باشد در این صورت عدد λ وجود دارد به طوری که ) ۰ x) ۰, y { f = λ g جواب دستگاه است (لازم مشتقات جزي ی f و g موجود و پیوسته g = c باشند.) روش ضرایب لاگرانژ برای بدست ا وردن ماکزیمم و مینیمم تابع (z f(x,,y تحت شرط : g(x, y, z) = k

۷ { f = λ g g = c ۱. مقادیر (z, x )و,y λ به گونه ای بدست می ا وریم که جواب دستگاه باشند. ۲. مقدار f را در این نقاط محاسبه می کنیم بیشترین مقدار ماکزیمم f تحت شرط g و کمترین مقدار مینیمم f تحت شرط g است. مثال.۸ نقاطی روی کره = ۴ ۲ x ۲ + y ۲ + z بیابید که نزدیکترین و دورترین نقطه تا نقطه ی (۱,۱,۳) باشند. حل : فرض کنیم (z,x),y نقطه ای دلخواه روی کره باشد d(x, y, z) = (x ۳) ۲ + (y ۱) ۲ + (z + ۱) ۲ باید ماکزیمم و مینیمم تابع d را تحت شرط = ۴ ۲ x ۲ + y ۲ + z بدست ا وریم.چون رادیکال صعودی است پس d وقتی ماکزیمم یا مینیمم است که d ۲ ماکزیمم یا مینیمم باشد (با این کار مشتقات ساده تری داریم.) پس ماکزیمم و مینیمم تابع = ۲ f = d ۱) ۲ + (z (x ۳) ۲ + (y ۱) ۲ + را تحت شرط = ۴ ۲ x ۲ + y ۲ + z بدست می ا وریم. { f = λ g x ۲ + y ۲ + z ۲ = ۴ D ۱ f = λd ۱ g D ۲ f = λd ۲ g D ۳ f = λd ۳ g x ۲ + y ۲ + z ۲ = ۴ ( ) داریم ۲(x ۳) = ۲λx ۲(y ۱) = ۲λy ۲(z + ۱) = ۲λ x ۲ + y ۲ + z ۲ = ۴ دستورالعمل مشخص برای حل دستگاه ( ) وجود ندارد. معمولا از معادلات اول سعی می کند x و y و z را براساس λ محاسبه کنندو سپس با جایگذاری در λرا g = c محاسبه نمایند. = z = ۱ ۱ λ = x = ۳ ۱ λ = y = ۱ ۱ λ ۳ ۱ = ( ۱ λ )۲ + ( ۱ λ )۲ + ( ۱ ۱ λ )۲ = ۴ = (۱ λ) ۲ = ۴ = (۱ λ)۲ = ۴ λ = ۱ ± ۲

۸ λ = ۲ +۱ x = ۶, y = ۲, z = ۲ ( ۶, ۲, ۲ ) = p ۱ λ = ۱ ۲ x = ۶, y = ۲, z = ۲ ( ۶, ۲, ۲ ) = p ۲ f و فقط مقدار نمی رود نقاط بحرانی اند. توجه کنیم هیچ ا زمونی به کار و p ۲ p ۱ دراین نقاط محاسبه می شود. با قرار دادن p ۱ و p ۲ در f بسادگی می بینیم که ) ۱ f(p کمترین مقدار و ) ۲ f(p بیشترین مقدار دارد. یعنی p ۲ دورترین نقطه روی کره از نقطه (۱,۱,۳) و p ۱ نزدیکترین نقطه به ا ن است. D = {(x, y) : x ۲ + y ۲ ۱۶} مثال ۹. فرض کنید مشخص کننده یک دیسک فلزی باشد.درجه حرارت روی D توسط تابع = (y f(x, ۵ ۴x ۲x ۲ + ۳y ۲ مشخص می شود. گرمترین و سردترین نقطه روی دیسک را بیابید. حل: باید ماکزیمم و مینیمم مطلق f را روی D بیابیم. f = (۰, ۰) (۴x ۴, ۶y) = (۰, ۰) { x ۴ = ۰ x = ۱ ۶y = ۰ y = ۰ { f = λ g g = c p ۱ (۱, ۰) ۴x ۴ = ۲λx ۶y = ۲λy x ۲ + y ۲ = ۱۶ نقطه درون D حال نقاط روی مرز D را پیدا می کنیم. y = ۰ or λ = ۳ (۲ λ)x = ۲ x = ۲ ۲ λ y = ۰ x ۲ + ۰ = ۱۶ x یا = ۴ x = ۴ p ۲ (۴, ۰), p ۳ ( ۴, ۰)

۹ λ = ۳ x = ۲ ۲ ۳ = ۲ y۲ = ۱۲ y = ± ۱۲ = ۲ ۳ p ۴ ( ۲, ۲ ۳), p ۵ ( ۲, ۲ ۳) دستگاه جواب دیگری ندارد. باید مطمي ن شویم همه جواب ها را بدست ا ورده ایم. هیچ ا زمونی نیاز نیست فقط مقدار f را در این نقاط محاسبه می کنیم. f(p ۱ ) = f(۱, ۰) = ۲ ۴ ۵ = ۷, f(p ۲ ) = f(۴, ۰) = ۳۲ ۱۶ ۵ = f(p ۳ ) = f( ۴, ۰) = ۳۲+۱۶ ۵ = ۴۳, f(p ۴ ) = f( ۲, ۲ ۳) = ۸+۲۴+۸ ۵ = ۳۵ f(p ۵ ) = f( ۲, ۲ ۳) = ۸ + ۲۴ + ۸ ۵ = ۳۵ پس بیشترین مقدار f برابر ۴۳ و کمترین مقدار ا ن ۷ است. لذا سردترین نقطه دیسک درون ا ن نقطه (۰,۱) با درجه حرارت ۷ و گرمترین نقطه نقطه (۳ ۲,۲ ) روی مرز است D با درجه حرارت ۴۳ است.